A diferença entre derivada e diferencial (uma transformação linear) fica mais evidente para funções de várias variáveis onde a diferencial terá um papel importante em aplicações práticas e que é diferente da derivada parcial (inclinação da reta tangente a uma curva sobre o gráfico da função).
Interpretação de uma função contínua em a: Se f é contínua em a, então uma pequena perturbação em a deve produzir uma pequena perturbação em f(a). Se f não é contínua em a, dizemos que f é descontínua em a ou f possui uma descontinuidade em a. Dizemos que f é contínua em um intervalo I se f é contínua em todo x ∈ I.
Se f é uma função descontínua em um ponto x=c do seu domínio, dizemos que: f tem descontinuidade de salto (1a. espécie) em x=c, se os limites laterais de f em c existem (são finitos) e são distintos.
Uma função f(x) possui uma Descontinuidade removível em x=a, quando pode-se remover esta descontinuidade ao completar o gráfico da função com o ponto f(a)=b, onde b é o valor dos limites laterais em x=a.
Quando f é contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua. Observamos que para questionarmos se uma dada função é contínua em determinado ponto, precisamos tomar o cuidado de verificar se esse ponto pertence ao domínio da função. Se tal ponto não está no domínio, a função não é contínua nesse ponto.
Uma função definida por partes, y = f(x), é uma função que é definida, simbolicamente, utilizando duas ou mais equações. Ou seja, a fórmula para f muda dependendo do valor de x.
Uma função está bem definida se conhecermos o seu domínio, o seu conjunto de chegada e a "regra" que permite determinar a imagem de qualquer elemento do seu domínio.
Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b.