O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta. Com efeito, o espaço linha de uma matriz é o espaço gerado pelo conjunto de vetores que formam as linhas da mesma. Agora, as linhas da transposta de uma matriz são as colunas da matriz original, donde segue o enunciado.
Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de multiplicação por escalar: quando . Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que v + αu ∈ W, para quaisquer ∈ V e qualquer α ∈ R, em vez de checar as duas operações separadamente.
Em outras palavras, a matriz M de mudança da base β para a base canônica é a matriz cujas colunas s˜ao as coordenadas dos vetores da base β na base canônica. Observe que a matriz de mudança da base canônica e `a base β é a matriz inversa de M. [T]e = P [T]β P−1.
Mudança de bases
Para calcular o determinante de uma matriz, precisamos analisar a ordem dela, ou seja, se ela é 1x1, 2x2, 3x3 e assim sucessivamente, quanto maior a sua ordem, mais difícil será encontrar o determinante.
Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn. O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).
Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo: Podendo ser representada por 03 x 2. Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas.