Qual o conjunto dos numeros irracionais . Essa é a pergunta que vamos responder e mostrar uma maneira simples de se lembrar dessa informação. Portanto, é essencial você conferir a matéria completamente.
os números racionais, aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a / b onde a e b são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero . Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica. Vejam os exemplos de números racionais a seguir: 3 / 4 = 0,75 = 0,750000… – 2 / 3 = – 0,666666… 1 / 3 = 0,333333… 2 / 1 = 2 = 2,0000… 4 / 3 = 1,333333… – 3 / 2 = – 1,5 = – 1,50000… 0 = 0,000… etc Existe entretanto, uma outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a / b , conhecidos como números irracionais , os quais serão abordados de uma forma elementar neste capítulo. 2 – Os números irracionais Assim como existem as dízimas periódicas, também existem as dízimas não periódicas que são justamente os números irracionais , uma vez que elas nunca poderão ser expressas como uma fração do tipo a / b . Exemplos de dízimas não periódicas ou números irracionais: a) 1,01001000100001000001… b) 3,141592654… c) 2,7182818272… d) 6,54504500450004… etc Existem dois tipos de números irracionais : os algébricos e os transcendentes . Os números irracionais algébricos , são as raízes inexatas dos números racionais, a exemplo de Ö 2 , Ö 5 , Ö 17 , Ö 103 , … etc, ou qualquer outra raiz inexata. Já os números irracionais transcendentes complementam aqueles irracionais algébricos , sendo os exemplos mais famosos de números irracionais transcendentes , o número p (pi), o número de Euler e , cujos valores aproximados com duas decimais são respectivamente 3,14 e 2,72 . O número p representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo diâmetro da mesma circunferência e o número e é a base do sistema de logaritmos neperianos. É interessante comentar, que ao tratarmos na prática, dos números irracionais, deveremos sempre adotar os seus valores aproximados, uma vez que , por serem dízimas não periódicas, os valores adotados serão sempre aproximações. Um exemplo clássico de não racionalidade de um número, é o caso da raiz quadrada de dois . O valor aproximado da raiz quadrada de dois ( Ö2 ) é igual a 1,414. Vamos analisar o porquê do número Ö 2 não ser racional: Para isto , vamos utilizar o método da redução ao absurdo, que consiste em negar a tese, e concluir pela negação da hipótese. Vamos supor inicialmente, por absurdo , que Ö 2 seja um número racional. Ora, neste caso, e se isto fosse verdadeiro, o número Ö2 poderia ser escrito na forma de uma fração irredutível a / b , ou seja, com a e b primos entre si , e, portanto, teríamos: Ö 2 = a / b , onde a e b são inteiros, com b diferente de zero. Quadrando ambos os membros da igualdade anterior, teremos: 2 = a2 / b2 , de onde tiramos a2 = 2.b2 . Ora, como a2 é o dobro de b2, é correto afirmar que a é um número par. Sendo a um número par, podemos escreve-lo na forma a = 2k, onde k é um número inteiro. Daí, vem que: (2k)2 = 2b2 ou 4k2 = 2b2 , de onde tiramos que b2 = 2k2 , ou seja, b também é par. Ora, sendo a e b pares, o quociente a / b não seria uma fração irredutível , já que o quociente de dois números pares é outro número par. Vemos portanto que isto nega a hipótese inicial de que a fração a / b seja irredutível, ou seja, de que a e b sejam primos entre si. Logo, concluímos que afirmar que Ö 2 é racional , é falso , ou seja, Ö2 não é um número racional, e, portanto, Ö 2 é um número irracional. Nota: dois números inteiros são ditos primos entre si, se o máximo divisor comum (MDC) destes números for igual à unidade, ou seja: MDC (a,b) = 1. 3 – Identificação de números irracionais Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que: 3.1 – todas as dízimas periódicas são números racionais. 3.2 – todos os números inteiros são racionais. 3.3 – todas as frações ordinárias são números racionais. 3.4 – todas a s dízimas não periódicas são números irracionais. 3.5 – todas as raízes inexatas são números irracionais. 3.6 – a soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. 3.7 – a diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: Ö5 – Ö 5 = 0 e 0 é um número racional. 3.8 – o quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: Ö8 : Ö2 = Ö 4 = 2 e 2 é um número racional. 3.9 – o produto de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: Ö5 . Ö5 = Ö 25 = 5 e 5 é um número racional. 3.10 – a união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais . 3.11 – a interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio ( Æ ). Simbolicamente, teremos: Q U I = R Q Ç I = Æ