A separação correta da palavra APOIO é A-POI-O.
A forma correta de escrita da palavra é apoio, sem acentuação gráfica. As palavras apóio e apôio, com acento agudo ou circunflexo, estão erradas. Enquanto substantivo, apoio é pronunciado com o fechado (ô) e indica qualquer tipo de suporte, ajuda ou aprovação.
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1. Nos ditongos abertos éi e ói das paroxítonas o acento caiu. Assim, termos como: colméia, estréia, geléia, idéia, jibóia, heróico, platéia, jóia, apóio (de apoiar), dentre outras, ficam: colmeia, estreia, geleia, ideia, jiboia, heroico, plateia, joia, apoio.
No programa "Bom Português" da RTP 1, fiquei a saber que a palavra "bainhas" não é acentuada. A razão aludida é a de que o "i" é a sílaba tónica e não forma, por essa razão, ditongo com o "a" anterior. Ora a palavra "países" está na mesma situação e é acentuada.
O Acordo Ortográfico de 2008 manteve, de modo taxativo, o acento circunflexo diferencial em pôde (terceira pessoa do singular do pretérito perfeito do indicativo de poder) para diferenciá-la de pode (terceira pessoa do singular do presente do indicativo de poder).