O sistema de escalonamento de matrizes completas dos coeficientes numéricos de um sistema de equações lineares possui a finalidade de simplificar o sistema através de operações entre os elementos pertencentes às linhas da matriz.
Dada a matriz Am×n, seja Bm×n a matriz-linha reduzida `a forma escada linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas n˜ao nulas de B. A nulidade de A é o número n − p (também chamada grau de liberdade do sistema).
O posto linha (coluna) de uma matriz A ∈ IRm×n é o número de linhas (colunas) linearmente independentes. Pode-se mostrar que o posto linha é igual ao posto coluna. Denotamos ent˜ao o posto da matriz A por posto(A). Uma matriz tem posto completo se posto(A) = mınimo{m, n}, isto é, se o posto é o maior valor possıvel.
O posto ou característica de uma matriz (em inglês, "matrix rank") é o número de linhas não-nulas da matriz em causa, quando escrita na forma escalonada por linhas. Equivalentemente, corresponde ao número de linhas ou colunas linearmente independentes da matriz.
As incógnitas que não aparecem no início de nenhuma das equações do sistema, chamadas variáveis livres, devem ser “passadas” para os segundos membros das equações. ... A quantidade de variáveis livres que um sistema apresenta é chamada de grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema.
A característica de uma matriz é um inteiro não-negativo que é sempre menor ou igual ao número de linhas e ao número de colunas. Isto é uma propriedade do conceito, nao uma definição. A definição comum em textos pré-universitários utiliza determinantes.
At: a transposta da multiplicação de um número real qualquer pela matriz A é igual ao produto de A pela transposta de A. --> (At)t = A: a transposta da transposta de A tem como resultado a própria matriz A, chamada de matriz original. --> (A.B)t = Bt .
Seja A e B matrizes, e a um número real qualquer, então: (A + B)t = At + Bt: A transposta da soma de duas matrizes A e B é igual a soma da transposta de A com a transposta de B; (a . A)t = a .
Veja que trocamos a quantidade de linhas pela quantidade de colunas. Para que uma matriz seja simétrica devemos ter a igualdade desta matriz com a sua transposta. Isto só será possível caso, m = n, e quando isso ocorre dizemos que a matriz é quadrada.
Considerando as matrizes A, B, C e O (matriz nula), ambas de mesma ordem, valem: