Como Negar Conectivos Logicos?

Un conector o conectivo lógico es un elemento del lenguaje que permite construir nuevos enunciados a partir de los existentes. Podemos considerarlos también como operadores lógicos, ya que realizamos ciertas operaciones entre proposiciones para construir nuevas.

Para probar la verdad de una conjunción hace falta probar la de todos sus miembros; para probar la verdad de la disyunción, basta probar la de uno. Recíprocamente ocurre con la falsedad: la falsedad de una conjunción se establece con probar la de uno de sus miembros; mientras que la falsedad de la disyunción requiere probar la de todos.

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También tiene sentido pensar en la proposición $(\neg C) \land E$. O bien en la proposición $A\land( (\neg C) \land E)$. Puedes practicar pasar estas oraciones a texto con paréntesis.

Comúnmente se considera a la negación lógica como un conectivo pero como operador monádico porque afecta solo a una proposición, también toma el nombre de complemento lógico.

Un conector lógico (o simplemente conector) es una regla que permite tomar una o más proposiciones, «operarlas» y de ahí construir una nueva proposición «resultado». Como lo que más nos importa de las proposiciones es si son verdaderas o falsas, entonces lo más importante de cada conector que demos es decir cómo se determina la veracidad de la proposición que obtuvimos como resultado. En estas entradas hablaremos a detalle de los siguientes conectores:

Jerarquía de los conectores lógicos

Una doble implicación es verdadera cuando sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad, esto es, cuando ambos son verdaderos o ambos son falsos; y es falsa en caso contrario, o sea, cuando alguno de ellos es verdadero y el otro falso.

Si suponemos que Juan aprobó su examen pero su madre no le dio el regalo, entonces V(r→s)=F porque el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Si Juan aprobó y su madre sí le dio el regalo, entonces V(r→s)=V, porque tanto antecedente como consecuente son verdaderos.

¿Qué es un conector lógico?

La conjunción de $A$ con $B$ es $$A\land B = \text{«Los gatos son felinos y todas las blorg son rojas.»}$$ Como cada una de las proposiciones que conforman la conjunción es verdadera, entonces la conjunción lo es.

La conjunción de $B$ con $E$ es $$B\land E = \text{«Todas las blorg son rojas y la luna es azul».}$$ Por muy cierto que sea que todas las blorg sean rojas, la conjunción no es verdadera pues $E$ es falsa.

Para formalizar la discusión anterior, definimos a la conjunción de dos proposiciones $P$ y $Q$ como la proposición $P\land Q$ que es verdadera únicamente cuando tanto $P$ como $Q$ son verdaderas. Así, por definición, su tabla de verdad es la siguiente:

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Algunas Leyes lógicas de la negación

Representamos las condiciones de verdad de este conector mediante una tabla. La columna inicial recoge los posibles valores de verdad de un determinado enunciado p. La columna siguiente indica los valores de verdad que corresponden a la negación del enunciado. 

Ahora hablaremos de algunas reglas que nos permiten comenzar con una o más proposiciones y combinarlas para obtener otras proposiciones. Hablaremos de la negación, de la conjunción y de la disyunción. De manera informal, la primera antepone un «no es cierto que» a cualquier proposición, y le cambia su veracidad. La segunda y tercera combinan dos proposiciones en una sola. De manera informal, ponen «y» y «o» entre las oraciones, respectivamente.

Tabla de verdad de la negación

Si se fijan bien, la negación de \( p \) realmente no contradice a \( q \) ya que una de ellas se ha deducido de la otra. Y más que una aparente contradicción, realmente una de ellas es la conclusión de la otra.

Si bien es cierto que la negación de una proposición no realiza ninguna conexión lógica, es decir, no es un conectivo lógico propiamente dicho, no deja de ser una proposición compuesta luego de negar una proposición simple.

Suporte

Existen otras leyes lógicas como las leyes de Morgan que no vamos a mencionar en esta sección porque están relacionadas con otros conectivos lógicos que aún no hemos explicado, pero son muy usados para encontrar relaciones entre conectivos lógicos que ya tratamos en secciones posteriores del curso de lógica.

¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural, y ya puedes responderla por tu cuenta. Intenta hacer esto haciendo una tabla de vedad que incluya tanto a las columnas $P\lor Q$ como $Q\lor P$.

La conjunción de $D$ con $E$ es $$C\lor E = \text{«Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$ o la luna es azul».}$$ Aquí tanto $D$ como $E$ son falsas, de modo que la disyunción también lo es.

Negación de las proposiciones categóricas

Disyunción excluyente de p y q es la proposición p⊻q (se lee "p o q, pero no ambos"). Es verdadera cuando solo una de las dos proposiciones es verdadera; es falsa si ambas son falsas o si ambas son verdaderas en simultáneo.

Representamos las condiciones de verdad mediante una tabla análoga a la anterior. En las primeras dos columnas se indican ordenadamente las cuatro combinaciones posibles de verdad y falsedad de las proposiciones p y q. La tercera columna indica los valores de verdad que corresponden a cada caso.

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