Jota desenha duas retas paralelas r e s , marcando alguns pontos pertencentes a cada uma delas, na reta r ele marca n pontos distintos e na reta s marca 3 pontos distintos . Sabendo que existem exatamente 30 diferentes triângulos com vértice nesses pontos marcados, então determine o valor de n .

Jota desenha duas retas paralelas r e s , marcando alguns pontos pertencentes a cada uma delas, na reta r ele marca n pontos distintos e na reta s marca 3 pontos distintos . Sabendo que existem exatamente 30 diferentes triângulos com vértice nesses pontos marcados, então determine o valor de n . Essa é a pergunta que vamos responder e mostrar uma maneira simples de se lembrar dessa informação. Portanto, é essencial você conferir a matéria completamente.

Jota desenha duas retas paralelas r e s , marcando alguns pontos pertencentes a cada uma delas, na reta r ele marca n pontos distintos e na reta s marca 3 pontos distintos . Sabendo que existem exatamente 30 diferentes triângulos com vértice nesses pontos marcados, então determine o valor de n .

Sabemos que para formarmos um triângulo devemos ter 3 pontos distintos (diferentes). Se temos uma reta com 3 pontos e considerarmos inicialmente que nela vamos ter 2 vértices (pontos) do triângulo, logo na outra terá somente um ponto para cada triângulo formado. Se ligarmos todos os ponto da reta s em um único ponto da reta r podemos formar 2 triângulos menores (onde os vértices da base de cada triângulo formado é composto por pontos adjacentes) mais 1 triângulo maior (onde os vértices da base do triângulo formado é composto pelos pontos mais afastados). Logo, para cada ponto na reta r teremos 3 triângulos. Logo teremos 3n triângulos com a base na reta s. Outra forma de deduzir isto é considerarmos que a quantidade de formas diferentes que podemos usar estes 3 pontos, usando 2 por vez é uma combinação, assim: Logo, podemos combinar de 3 formas diferentes os 3 pontos 2 a 2. Sabendo isso para formar o triângulo usaremos um ponto na reta que tem n pontos. Então formaremos triângulos. Veja que ainda não sabemos quantos pontos temos, pois temos que encontra o números menor possível para n. Prosseguindo, agora vamos fazer o contrário para formar os triângulos. Vamos usar a reta r para a base do triângulo (2 ponto por triângulo). Então para cada triângulo formado usaremos 2 pontos de r e um ponto de s. Sabendo disto, para cada 2 pontos de r podemos formar 3 triângulos (um para cada ponto da reta s). Logo, para saber quanto triângulo podemos formar com n ponto 2 a 2 devemos fazer um combinação e multiplicar por 3, assim: Sabemos que temos 30 triângulos diferentes então fazemos a soma dos possibilidades analisadas e igualamos a 30. Assim: Agora basta resolver esta equação utilizando a fórmula de Báskara. Assim: Onde Substituindo o valor de , teremos Assim: e Como o valor de é menor que zero e a quantidade de pontos tem que ser um valor maior que zero, então na reta r teremos pontos para que possamos formar 30 triângulos diferentes.

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