Mostre que a média aritmética de 2sen2°, 4sen4°, 6sen6°,…, 180sen180° é cotg1°
Mostre que a média aritmética de 2sen2°, 4sen4°, 6sen6°,…, 180sen180° é cotg1° Essa é a pergunta que vamos responder e mostrar uma maneira simples de se lembrar dessa informação. Portanto, é essencial você conferir a matéria completamente.
Mostre que a média aritmética de 2sen2°, 4sen4°, 6sen6°,…, 180sen180° é cotg1°
Antes precisamos lembrar de três identidades: 1- senθ = cos(90°-θ) 2- sen(2θ) = 2senθ.cosθ 3- E também é preciso saber essa identidade: Essa identidade é a parte complicada da resolução do exercício. Pode-se encontrá-la usando o fato que , a fórmula da soma da PG e tomando a parte imaginária dessa soma. Fazendo isso, e usando vários artifícios, sendo que um deles será usado nessa resolução, se encontra a identidade acima. Agora que temos tudo vamos resolver a questão. Usando a fórmula 2 temos que: 2sen2° = 4sen1°.cos1° 4sen4° = 8sen2°.cos2° … 88sen88° = 176sen44°.cos44° 90sen90° = 90 92sen92° = 184sen46°.cos46° … 176sen176° = 352sen88°.cos88° 178sen178° = 356sen89°.cos89° 180sen180° = 0 Usando a identidade 1 podemos reescrever a soma acima, de 90 termos, como: 360sen1°.cos1° + 360sen2°.cos2° + … + 360sen44°.cos44° + 90 Então, tirando a média, que será representada por M, temos que: Agora vem a parte complicada: usaremos a quarta identidade, a da soma… No nosso caso teremos que m=44, daí a soma entre parênteses no passo anterior fica: Substituindo na expressão de M teremos: Agora usaremos a identidade 3. Note que 2sen44°.sen45° = cos1° – cos89°. Substituindo isso, mais uma vez, em M teremos: Por fim, note que cos89° = sen1°, por causa da identidade 1, daí o numerador de M se reduz apenas a cos1°. Pela definição de cotangente temos, por fim, que: