Calcule a área do quadrado ABCD, sendo A(-4,3) e B(1,15) dois vértices consecutivos
Calcule a área do quadrado ABCD, sendo A(-4,3) e B(1,15) dois vértices consecutivos Essa é a pergunta que vamos responder e mostrar uma maneira simples de se lembrar dessa informação. Portanto, é essencial você conferir a matéria completamente.
Calcule a área do quadrado ABCD, sendo A(-4,3) e B(1,15) dois vértices consecutivos
Vamos achar a equação da reta que passa pelos pontos (-4,3) e (1 ,15): y-3 = [(15-3)/(1+4)](x+4) ou y – 3 = (12/5) (x+4) vamos deixa-la sob essa forma. O coefieinete angular dessa reta é 12/5. . Sabemos que toda reta perpendicular a ela deve ter coeficiente angular o inverso desse valor e de sinal contrario ou seja -5/12. Vamos agora encontrar a equação da reta que passa pelo ponto (-4,3) e tem coeficiente angular ,-5/12, porque o outro lado do quadrado obrigatoriamente estara sobre essa reta. A eq. dessa reta fica: y-3 = (-5/12)(x-+4) Porem o lado do quadrado como vc calculou é 13 então vamos eterminar todos os pontos cuja distancia ao ponto A seja 13 ou seja : (x +4)^2 +(y-3)^2=13 que é a equação de uma circunferencia. existem pois infinitos pontos de distancia 13 ao ponto A porem o lado do quadrado deve estar sobre a reta perpendicular à reta definida por A e B cuja eq. ja encontramos. Temos assim um sistema de duas equações a duas incognitas ou seja : (x +4)^2 +(y-3)^2=13^2 y-3 = (-5/12)(x-+4) a forma mais facil de resolve-lo é substituir y-3 da ultima equação na primeira ou seja (x+4)^2 + [25/144} (x+4)^2 = 13 ^2 ou (x+4)^2 [1 +25/144] =13 ou (x+4)^2 (169/144) =13^2 ou (x+4)^2 = 13^2.144/169= 144 (x+4)^2 = 144 extraindo a raiz quadrada de ambos os membros x+4 = +/- 12 x = -4+/-12 x1= -16 x2= 8 os respectivos valores de y se obtem da equção da reta: y-3 = (-5/12)(x-+4) y1 – 3 = -5/12. (-12) y1= 3-+5= 8 y2-3 = (-5/12) 12 y2= 3 -5 y2= -2 assim como era de se esperar ha duas soluções o quadrado pode ser construido acima ou abaixo da reta e o vertice D , fica (-16 ,8) ou (8,-2) De forma analogoa obteriamos o quarto vértice C !!!!! faltou uma complementação que não tive tempo de fazer quando postei a solução mas que agora vai: Uma reta divide o plano em 2 regiões >, uma acima e outra abaixo. Voce tem dois pontos D que satisfazem o problema então resta saber em que região se encontra o poto, se acima ou abaixo. E por que isso? porque vc vai obter dois pares ordenados tambem para o outro ponto C e precisa sabem quem corresponde a quem pois vc poderia dar um ponto D acima e um ponto C abaixo o que evidentemente não daria um quadrado. Como fazer essa verificação: consideremos a equação da reta ab ou seja a do lado do quadrado: y – 3 = (12/5) (x+4) trnapondo tudo para o primeiro membro fica: y-3 -(12/5).(x+4) = 0 Se vc substitui x e y por dois valores que satisfaçam a equação ou seja que de zero o primeiro membro significa que o ponto está sobre a reta. Vamos substituir x e y pelos valores das coordenadas do ponto D encontrado e que não está sobre a reta, ou seja o primeiro membro vai dar um certo numero diferente de zero: x1=–16 y1=8 fica: 8-3 -12/5(-16+4) = 8 – 3 + 12.12/5= 33,8 agora utilizemos o outro ponto: x2 = 8 y2 = -2 -2 -3 – 12/5(8+4) = -2-3 – 12.12/5= -33,8 Vejamos agora o ponto x=0 e y=0 (a origem) 0-3 -12/5( 0 +4) = -41,8 assim o ponto (8, -2) e a origem (0,0) estão de um mesmo lado da reta porque os resultados deram ambos do mesmo sinal.O ponto (-16,8 ) está de lado oposto a origem. Quando vc encontrar os outros dois pontos através desse criterio poderá determinar a localização de cada ponto. depois da substituição dos pontos (-16 8) e (8,-2) obteve-se valores iguais e de sinais contrários. De sinais contrarios ja era esperado porém os valore