As duas palavras estão correctas: ambas têm o sentido de pôr. Em alguns locais - Portugal, por exemplo -, a utilização de botar denota uma linguagem mais popular.
O mesmo que colocar, no popular.
Significado de Bota substantivo feminino Calçado de couro, borracha ou plástico, que cobre o pé e a perna. [Figurado] Descalçar a bota, sair-se de dificuldades.
Significado de Botar verbo transitivo direto, bitransitivo e intransitivo Pôr (ovos): a galinha botava muitos ovos; as galinhas botaram. verbo bitransitivo Tirar de um lugar e colocar em outro; estabelecer nesse lugar; colocar: botar a bola sobre a mesa.
Significado de botar pilha: Incentivar, encorajar.
Acreditar com vontade. Ter fé. -Eu não boto fé no namoro deles não heim, acho que não vai durar nada.
1 bota. 2 calcante, coturno.