Como Calcular O Volume De Um Tetraedro Com Vetores?
Um tetraedro é uma pirâmide regular com quatro faces triangulares. Isto significa que podemos calcular o seu volume multiplicando a área da sua base pela altura do tetraedro e dividindo por três. Além disso, sua área é calculada pela soma das áreas das quatro faces triangulares.
Calcular o volume de tetraedro de base e vértice , sendo . Qual a altura relativa ao vértice ?
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a) e
Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $u$, $v$ e $w$, dados por: $u=\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k}$, $v=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$ e $w=\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}$.
Esse exercício possui um pequeno detalhe que faz uma mega diferença. Bom ele quer que determinemos o volume de um tetraedro, sendo que ele nos dá os vértices. A pegadinha, é que o módulo do produto misto é o volume de um paralelepípedo. Mas, e agora?? O que tem de diferente?
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A área da base é o módulo do produto vetorial entre . Então vamos lá...
75. Calcular o volume do tetraedro , sendo dados:
Enunciado
Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são:
a) e
Volume e área de um tetraedro – Exercícios resolvidos
A Pirâmide de Quéops, também conhecida como Grande Pirâmide de Gizé, no Egito, tem o formato muito próximo de um tetraedro regular. Pesquise as suas medidas e utilizando o produto misto, calcule aproximadamente o volume interno da pirâmide. Defina o sistema de coordenadas e os três vetores do produto misto de forma a facilitar as contas.
Esse exercício possui um pequeno detalhe que faz uma mega diferença. Bom ele quer que determinemos o volume de um tetraedro, sendo que ele nos dá os vértices. A pegadinha, é que o módulo do produto misto é o volume de um paralelepípedo. Mas, e agora?? O que tem de diferente?
A área da base é o módulo do produto vetorial entre . Então vamos lá...
Volume e área de um tetraedro – Exercícios para resolver
O módulo então é , ou seja, a área da base é .
Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são:
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O detalhe é que o volume de um tetraedro é do volume de um paralelepípedo. Pronto, nossos problemas acabaram hehe.
Como mencionamos anteriormente, os tetraedros são pirâmides triangulares. Além disso, a área de qualquer pirâmide pode ser calculada multiplicando a área de sua base pela altura da pirâmide e dividindo por três. Então temos:
$$ u\cdot(v\times w)=\|u\|\;\|v\|\;\|w\|\;\sqrt{ \det\left(\begin{array}{ccc} 1 & \cos(u,v) & \cos(u,w) \\ \cos(u,v) & 1 & \cos(v,w) \\ \cos(u,w) & \cos(v,w) & 1 \\\end{array}\right)}, $$
Enunciado
O volume do tetraedro é do volume do paralelepípedo, ou seja:
b) e . Para este, calcular também a medida da altura traçada do vértice .
Agora, só precisamos definir os vetores, já que nos deram os pontos e calcular o produto misto e por fim, multiplicar por ;).
Como calcular o volume do tetraedro regular?
Para calcular o volume de um tetraedro regular multiplicamos a aresta ao cubo por raiz de dois e dividimos por doze.
Qual o volume do paralelepípedo definido pelos vetores U (- 3 3 3 v 0 4 9 ET (- 1 2 7 )?
Resposta: O volume do paralelepípedo é igual a 15. O volume é sempre positivo, por isso temos que tirar o módulo de -15.
Como saber se dois vetores são iguais?
Dois vetores são iguais se apresentam mesmo módulo, mesma direção e sentido. Dois vetores e são opostos se apresentam mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários.
Como descobrir direção e sentido de um vetor?
As direções de um vetor podem ser definidas com base no sistema de coordenadas escolhido, por exemplo. Usando-se o sistema cartesiano, as direções do espaço seriam x e y e um vetor poderia ser escrito como V = (x, y).
Como saber a direção e sentido do campo elétrico?
- módulo: o módulo do campo elétrico em um ponto P é dado pela equação acima. - direção: é a mesma da força elétrica . - sentido: é o mesmo da força elétrica se q > 0 e sentido contrário se q < 0. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade do campo elétrico é N/C (newton/coulomb).
Qual a diferença entre módulo direção e sentido?
Vamos supor que um vetor esteja na posição vertical. Esse é a direção do módulo. A seta representa o sentido em que o módulo se direciona. ... Mas a diferença entre eles é que a seta de um está apontada para cima, e do outro está para baixo.
O que é sentido e direção?
Ao observar essas retas podemos concluir que direção está ligada ao que diz respeito à posição horizontal, vertical, norte, sul, leste e oeste. Já o sentido é a orientação do móvel. Unindo direção e sentido podemos determinar a posição de qualquer corpo ou objeto que esteja descrevendo uma trajetória curvilínea.
O que é sentido na física?
Na matemática e na física, sentido é uma propriedade associada a uma direção. ... Por exemplo, se considerarmos a direção vertical, os dois sentidos possíveis são para cima e para baixo.
O que significa a direção?
Significado de Direção substantivo feminino Lado para onde alguém se dirige; rumo, sentido, caminho.
O que é o sentido?
O que é o Sentido: Sentido é um termo utilizado para caracterizar o processo fisiológico de receber e reconhecer sensações e estímulos que são produzidos através da visão, da audição, do olfato, do tato e do paladar do ser humano. ... O sentido também pode se referir ao entendimento ou razão humana.
O que quer dizer faz sentido?
Também dizemos que algo faz sentido quando entendemos o porquê dos acontecimentos ou a intenção das pessoas. Esta compreensão nos faria dizer: “Isso faz sentido, tem lógica".
O que é o sentido da frase?
Significado de Frase substantivo feminino Construção comunicativa de sentido completo, sendo composta por uma ou mais palavras, possuindo ou não verbo. [Gramática] De teor afirmativo, negativo, interrogativo, exclamativo ou imperativo. ... Etimologia (origem da palavra frase).
Como explicar uma frase?
1. Frase. Define-se como todo e qualquer enunciado de sentido completo, não importando se é formado por uma ou várias palavras, ou se possui verbos ou não; caso não os possua passa a ser chamada de frase nominal. Frases têm como objetivo exprimir ideias, emoções, ordens, apelos etc.